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2015年全国中考数学试题汇编(15)解答题18

上传日期:2015-6-26 浏览次数:5 次
最优题库网(2015•株洲)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上,且四边形OECF是正方形.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.
最优题库网(2015•漳州)求证:等腰三角形的两底角相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
最优题库网(2015•常州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.
(1)若AD=2,求AB;
(2)若AB+CD=2
3
+2,求AB.
最优题库网(2015•娄底)“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:
2
≈1.41,
3
≈1.73)
(2015•河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图1,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=
CD
CD

求证:四边形ABCD是
平行
平行
四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为
平行四边形两组对边分别相等
平行四边形两组对边分别相等

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最优题库网(2015•毕节市)如图,将平行四边形ABCD的AD边延长至点E,使DE=
1
2
AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.
最优题库网(2015•淮安)如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=60°,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.
(1)直接写出点F的坐标;
(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.
最优题库网(2015•荆门)已知,如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.
求证:四边形ABCD为菱形.
最优题库网(2015•厦门)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=
1
2
x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2. 求证:四边形ABCD是矩形.
最优题库网(2015•绍兴)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,连结DF,BF,如图.
(1)若α=0°,则DF=BF,请加以证明;
(2)试画一个图形(即反例),说明(1)中命题的逆命题是假命题;
(3)对于(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由.
最优题库网(2015•绵阳)如图,在边长为2的正方形ABCD中,G是AD延长线时的一点,且DG=AD,动点M从A点出发,以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A,G重合),设运动时间为t秒,连接BM并延长AG于N.
(1)是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若存在,分析点M的位置;若不存在,请说明理由;
(2)当点N在AD边上时,若BN⊥HN,NH交∠CDG的平分线于H,求证:BN=HN;
(3)过点M分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F,矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S,求S的最大值.
(2015•淮安)阅读理解:
如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′,FD′相交于点O.最优题库网
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是
正方形
正方形

(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB′=
80
80
°;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有
5
5
个(包含四边形ABCD).
拓展提升:
当图③中的∠BCD=90°时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由.
最优题库网(2015•台州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°,求∠BAD的度数;
(2)求证:∠1=∠2.
最优题库网(2015•烟台)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且
最优题库网
DE
=
BE
. (1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
(2015•安徽)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
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最优题库网(2015•杭州)如图1,⊙O的半径为r(r>0),若点P′在射线OP上,满足OP′•OP=r2,则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.
如图2,⊙O的半径为4,点B在⊙O上,∠BOA=60°,OA=8,若点A′,B′分别是点A,B关于⊙O的反演点,求A′B′的长.
最优题库网(2015•孝感)如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.
(1)求证:∠PCA=∠ABC;
(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin∠P=
3
5
,CF=5,求BE的长.
最优题库网(2015•贵州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连接OD.
(1)求证:△ADO∽△ACB.
(2)若⊙O的半径为1,求证:AC=AD•BC.
最优题库网(2015•温州)如图,AB是半圆O的直径,CD⊥AB于点C,交半圆于点E,DF切半圆于点F.已知∠AEF=135°.
(1)求证:DF∥AB;
(2)若OC=CE,BF=2
2
,求DE的长.
最优题库网(2015•黄冈)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点M,交BC于点N,连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证:∠BCP=∠BAN
(2)求证:
AM
MN
=
CB
BP
最优题库网(2015•黄石)如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.
(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线.
最优题库网(2015•绵阳)如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接DC,DA,OA,OC,四边形OADC为平行四边形.
(1)求证:△BOC≌△CDA;
(2)若AB=2,求阴影部分的面积.
已知,如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,动点P,Q分别在线段OC,CD上,且DQ=OP,AP的延长线与射线OQ相交于点E,与弦CD相交于点F(点F与点C,D不重合),AB=20,cos∠AOC=
4
5
,设OP=x,△CPF的面积为y. (1)求证:AP=OQ;
(2)求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当△OPE是直角三角形时,求线段OP的长.
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最优题库网(2015•荆门)已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:CE2=EH•EA;
(3)若⊙O的半径为5,sinA=
3
5
,求BH的长.
如图1,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上,AB=BC=6cm,OD=3cm,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.
(1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间;
(2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD;
(3)如图3,当AB和DE重合时,求证:CF2=CG•CE.
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(2015•株洲)已知AB是圆O的切线,切点为B,直线AO交圆O于C、D两点,CD=2,∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动,PC交圆O于另一点Q.
(1)当点P运动到使Q、C两点重合时(如图1),求AP的长;
(2)点P在运动过程中,有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为
1
2
?(直接写出答案)
(3)当△CQD的面积为
1
2
,且Q位于以CD为直径的上半圆,CQ>QD时(如图2),求AP的长. 最优题库网
最优题库网(2015•宜昌)如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于
1
2
GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E. (1)求证:AB=AE;
(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.
最优题库网⊙O为△ABC的外接圆,请仅用无刻度的直尺,根据下列条件分别在图1,图2中画出一条弦,使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹,不写作法).
(1)如图1,AC=BC;
(2)如图2,直线l与⊙O相切于点P,且l∥BC.
最优题库网(2015•东莞)如图,已知锐角△ABC.
(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=
3
4
,求DC的长.
最优题库网(2015•孝感)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(
最优题库网
AB
).
(1)用直尺和圆规作出
AB
所在圆的圆心O;(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)若
AB
的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求
AB
所在圆的半径.
最优题库网(2015•山西)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)尺规作图:作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母.
(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求
DE
的长.
最优题库网(2015•贵州)如图,已知Rt△ACB中,∠C=90°,∠BAC=45°.
(1)用尺规作图:在CA的延长线上截取AD=AB,并连接BD(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求∠BDC的度数.
(3)定义:在直角三角形中,一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即cotA=
∠A的邻边
∠A的对边
,根据定义,利用图形求cot22.5°的值.
最优题库网(2015•广州)如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比.
最优题库网如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实验与操作:
根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
最优题库网(2015•南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)